1. परिचय

क्वांटम रैंडम वॉक (QRW) क्लासिकल रैंडम वॉक से मौलिक रूप से भिन्न है, यह क्वांटम सुपरपोजिशन और इंटरफेरेंस प्रभावों का उपयोग करके ग्राफ संरचनाओं के ट्रैवर्सल में द्विघात त्वरण प्राप्त करता है। यह क्षमता विभिन्न क्वांटम एल्गोरिदम (क्वांटम रैंडम वॉक सर्च एल्गोरिदम सहित) की आधारशिला बनाती है। यह शोध QRWS के एक प्रकार का अन्वेषण करता है जो बहु-स्तरीय क्वांटम प्रणाली (qudit) और सामान्यीकृत हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन के माध्यम से निर्मित वॉक कॉइन ऑपरेटर का उपयोग करता है, जिसका लक्ष्य एल्गोरिदम को पैरामीटर त्रुटियों के प्रति अधिक मजबूत बनाना है - यह आधुनिक क्वांटम उपकरणों के सामने एक प्रमुख चुनौती है।

2. सैद्धांतिक ढांचा

2.1 क्वांटम रैंडम वॉक और खोज

QRW रैंडम वॉक की अवधारणा को क्वांटम प्रणालियों तक विस्तारित करता है। क्वांटम वॉकर की अवस्था एक हिल्बर्ट स्पेस में विकसित होती है, जो स्थिति स्पेस और सिक्का (आंतरिक अवस्था) स्पेस के टेंसर उत्पाद का स्थान है। QRWS एल्गोरिदम ग्राफ संरचनाओं में चिह्नित नोड्स की खोज के लिए इस गतिकी का उपयोग करता है, जो शास्त्रीय खोज की तुलना में संभावित त्वरण लाभ प्रदान करता है।

2.2 Qudit और Qubit का तुलनात्मक अध्ययन

虽然大多数量子算法使用量子比特（二能级系统），但量子dit（d能级系统，d>2）具有显著优势：每个载体的信息密度呈指数级增长，对某些量子门具有更强的噪声抗扰性，并且可能提升算法性能，这在Grover算法和Shor算法的适配中已有所体现。

2.3 Householder Paravartan Sikka

चलने वाले की दिशा निर्धारित करने वाला कॉइन ऑपरेटर, सामान्यीकृत हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन को फेज़ मल्टीप्लायर के साथ जोड़कर निर्मित किया गया है। यूनिट वेक्टर $|u\rangle$ के लिए, हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन को $H = I - 2|u\rangle\langle u|$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इस अध्ययन में इसे क्यूडिट सिस्टम तक विस्तारित किया गया है। गिवेन्स रोटेशन अनुक्रमों की तुलना में, यह दृष्टिकोण उच्च-आयामी प्रणालियों के लिए मनमाना यूनिटरी ऑपरेशन बनाने का एक कुशल और स्केलेबल मार्ग प्रदान करता है।

3. Prakriya aur Machine Learning Samanvay

3.1 एल्गोरिदम निर्माण

अध्ययन किया गया QRWS एल्गोरिदम एक एकल qudit को सिक्का रजिस्टर के रूप में उपयोग करता है। चलने का चरण दो भागों वाले संचालनों का संयोजन है: हाउसहोल्डर-आधारित सिक्का ऑपरेटर $C(h, \vec{\theta})$ (चरण $h$ और कोण वेक्टर $\vec{\theta}$ द्वारा पैरामीट्राइज़्ड) और एक शिफ्ट ऑपरेटर, जो सिक्का की स्थिति के आधार पर ग्राफ नोड्स के बीच वॉकर को स्थानांतरित करता है।

3.2 मशीन लर्निंग के माध्यम से रोबस्टनेस ऑप्टिमाइज़ेशन

सिक्का पैरामीटर में अशुद्धियों (जैसे, आयन ट्रैप में लेजर नियंत्रण की अशुद्धि के कारण त्रुटियां) से उत्पन्न संवेदनशीलता से निपटने के लिए, लेखकों ने एक संकर दृष्टिकोण अपनाया। मोंटे कार्लो सिमुलेशन पैरामीटर विचलन के तहत एल्गोरिदम के प्रदर्शन डेटा (जैसे, सफलता की संभावना) उत्पन्न करते हैं। इस डेटा का उपयोग एक पर्यवेक्षित डीप न्यूरल नेटवर्क (DNN) को प्रशिक्षित करने के लिए किया जाता है, ताकि सिक्का पैरामीटर (आयाम $d$, $h$, $\vec{\theta}$) और एल्गोरिदम की रोबस्टनेस के बीच संबंध सीखा जा सके। प्रशिक्षित DNN फिर किसी भी qudit आयाम के लिए इष्टतम, मजबूत पैरामीटर सेट की भविष्यवाणी कर सकता है।

मुख्य अनुकूलन मेट्रिक्स

पैरामीटर शोर $\delta$ के तहत एल्गोरिदम की सफलता संभावना: $P_{success}(\vec{\theta}_0 + \delta)$

मशीन लर्निंग मॉडल इनपुट

Qudit आयाम $d$, नाममात्र पैरामीटर $\vec{\theta}_0$, शोर मॉडल।

मशीन लर्निंग मॉडल आउटपुट

अनुमानित इष्टतम पैरामीटर $\vec{\theta}_{opt}$, $\mathbb{E}[P_{success}]$ को अधिकतम करने के लिए।

4. परिणाम और विश्लेषण

4.1 मोंटे कार्लो सिमुलेशन परिणाम

सिमुलेशन परिणामों से पता चलता है कि मानक QRWS का प्रदर्शन हाउसहोल्डर सिक्का पैरामीटर में मामूली विचलन के साथ काफी गिरावट आती है। हालांकि, उच्च-आयामी पैरामीटर स्थान में विशिष्ट क्षेत्रों की पहचान की गई है जहां शोर की शुरूआत के बावजूद, एल्गोरिदम की सफलता की संभावना उच्च बनी रहती है, यह दर्शाता है कि कुछ सिक्का विन्यासों में अंतर्निहित मजबूती होती है।

4.2 न्यूरल नेटवर्क पूर्वानुमान

प्रशिक्षित DNN ने जटिल पैरामीटर स्थान का सफलतापूर्वक मानचित्रण किया। यह उन qudit आयामों के लिए मजबूत सिक्का पैरामीटर की भविष्यवाणी करने में सक्षम था जिन्हें स्पष्ट रूप से प्रशिक्षण के दौरान नहीं देखा गया था। गैर-अनुकूलित सिक्कों की तुलना में, भविष्यवाणी किए गए "इष्टतम मजबूत सिक्का" ने नाममात्र पैरामीटर के आसपास सफलता संभावना के निचले, अधिक सपाट और चौड़े शिखर दिखाए, जो त्रुटि के प्रति बढ़ी हुई सहनशीलता की पुष्टि करता है।

चार्ट व्याख्या (संकल्पनात्मक): एक त्रि-आयामी चार्ट एल्गोरिदम की सफलता संभावना (Z-अक्ष) और दो प्रमुख सिक्का पैरामीटर (X-अक्ष और Y-अक्ष) के बीच संबंध प्रदर्शित करेगा। मानक सिक्के के लिए, सतह एक तीक्ष्ण, संकीर्ण शिखर प्रदर्शित करती है। मशीन लर्निंग-अनुकूलित मजबूत सिक्के के लिए, इसका शिखर अधिकतम ऊंचाई में कम है, लेकिन काफी अधिक चौड़ा और सपाट है, जो एक बड़े पैरामीटर क्षेत्र में प्रदर्शन बनाए रखने का संकेत देता है।

5. तकनीकी गहराई से विश्लेषण

कोर कॉइन ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

6. विश्लेषणात्मक ढांचा एवं केस अध्ययन

रोबस्टनेस का मूल्यांकन करने के लिए ढांचा:

  1. शोर मॉडल को परिभाषित करें: यथार्थवादी त्रुटि स्रोतों को निर्दिष्ट करें (उदाहरण के लिए, $\vec{\theta}$ पर गॉसियन शोर, $h$ पर व्यवस्थित पूर्वाग्रह)।
  2. विक्षोभों का एक सेट उत्पन्न करें: शोर मॉडल से नमूना लेकर, $N$ पैरामीटर सेट $\{\vec{\theta}_i\}$ बनाएं।
  3. सिमुलेशन और माप: प्रत्येक $\vec{\theta}_i$ के लिए QRWS चलाएं और $P_{success}(i)$ रिकॉर्ड करें।
  4. Robustness metric की गणना करें: सेट पर औसत सफलता संभावना $\bar{P}$ और इसका मानक विचलन $\sigma_P$ की गणना करें। उच्च $\bar{P}$ और कम $\sigma_P$ मजबूत robustness को दर्शाता है।
  5. मशीन लर्निंग के माध्यम से अनुकूलन: प्रशिक्षण प्रतिगमन DNN के लक्ष्य के रूप में $\bar{P}$ का उपयोग करें। DNN फ़ंक्शन $f: (d, \vec{\theta}_{nominal}) \rightarrow \bar{P}$ सीखता है।
  6. सत्यापन: नए, प्रशिक्षण में शामिल न किए गए शोर उदाहरणों और qudit आयामों के सेट पर DNN के पैरामीटर पूर्वानुमान का परीक्षण करें।
केस अध्ययन (बिना कोड के): एक $d=4$ क्यूडिट पर विचार करें। पूर्व साहित्य में नाममात्र का सिक्का कम शोर पर $\bar{P}=0.95$ देता है, लेकिन 5% पैरामीटर विचलन पर यह गिरकर $\bar{P}=0.65$ हो जाता है। मशीन लर्निंग फ्रेमवर्क लागू करने के बाद, नए पैरामीटरों का एक सेट पाया गया। हालांकि शून्य शोर पर इसकी शिखर $P_{success}$ $0.92$ है, लेकिन समान 5% विचलन पर, $\bar{P}$ $0.88$ पर बना रहता है, जो शोरपूर्ण परिस्थितियों में इसकी बेहतर व्यावहारिक उपयोगिता को सिद्ध करता है।

7. भविष्य के अनुप्रयोग और दिशाएँ

  • हालिया क्वांटम उपकरण: सीधे आयन ट्रैप या फोटॉनिक प्रणालियों में लागू किया जाता है जो क्यूडिट का उपयोग करती हैं, जहां नियंत्रण त्रुटियां व्यापक हैं। यह दृष्टिकोण QRWS एल्गोरिदम को वर्तमान अपूर्ण हार्डवेयर पर व्यवहार्य बना सकता है।
  • एल्गोरिदम-अवेयर त्रुटि शमन: सामान्य त्रुटि सुधार विधियों से आगे बढ़कर, एल्गोरिदम के साथ सह-डिजाइन की ओर, जिससे वे अंतर्निहित रूप से मजबूत हों - यह अवधारणा U.S. National Quantum Initiative में "शोर-प्रतिरोधी एल्गोरिदम" पर ध्यान केंद्रित करने के अनुरूप है।
  • अन्य क्वांटम वॉक्स तक विस्तार: "रोबस्टनेस के लिए मशीन लर्निंग" पैटर्न को सतत-समय क्वांटम वॉक या अधिक जटिल ग्राफ संरचनाओं (जैसे, पदानुक्रमित नेटवर्क) पर वॉक्स पर लागू करना।
  • अन्य मशीन लर्निंग तकनीकों के साथ एकीकरण: रीइन्फोर्समेंट लर्निंग का उपयोग करके, एल्गोरिदम निष्पादन के दौरान वास्तविक-समय प्रदर्शन प्रतिक्रिया के आधार पर पैरामीटर्स को गतिशील रूप से समायोजित करना।
  • व्यापक क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन: यह विधि अन्य पैरामीटराइज्ड क्वांटम एल्गोरिदम (जैसे वेरिएशनल क्वांटम आइजेनसॉल्वर या क्वांटम न्यूरल नेटवर्क) के मजबूत पैरामीटराइजेशन की खोज के लिए शास्त्रीय मशीन लर्निंग के उपयोग के लिए एक मिसाल कायम करती है।

8. संदर्भ सूची

  1. Ambainis, A. (2003). Quantum walks and their algorithmic applications. International Journal of Quantum Information.
  2. Childs, A. M., et al. (2003). Exponential algorithmic speedup by a quantum walk. STOC '03.
  3. Kempe, J. (2003). Quantum random walks - an introductory overview. Contemporary Physics.
  4. National Institute of Standards and Technology (NIST). (2023). Quantum Algorithm Zoo. [Online]
  5. Preskill, J. (2018). Quantum Computing in the NISQ era and beyond. Quantum.
  6. Biamonte, J., et al. (2017). Quantum machine learning. Nature.
  7. Wang, Y., et al. (2020). Quantum Householder transforms. Physical Review A.
  8. Tonchev, H., & Danev, P. (2023). [PDF中引用的先前工作].

9. विशेषज्ञ विश्लेषण एवं टिप्पणी

मुख्य अंतर्दृष्टि: यह लेख न केवल एक बेहतर क्वांटम वॉक कॉइन के बारे में है, बल्कि यह शोरयुक्त इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) युग में क्वांटम एल्गोरिदम डिजाइन के लिए एक रणनीतिक मोड़ का प्रतिनिधित्व करता है। लेखक सही ढंग से बताते हैं कि निकट-भविष्य के उपकरणों के लिए ब्रूट-फोर्स क्वांटम त्रुटि सुधार अव्यवहार्य है, और इसलिए एक सह-डिजाइन रणनीति प्रस्तावित करते हैं: क्लासिकल मशीन लर्निंग को एक खोज उपकरण के रूप में उपयोग करके, मजबूती को सीधे एल्गोरिदम के मापदंडों में एम्बेड किया जाता है। यह इस तरह के समान हैCycleGANअनपेयर्ड इमेज ट्रांसलेशन के लिए साइकल-कंसिस्टेंसी लॉस का विचार - एकदम सटीक वन-स्टेप मैपिंग को थोपने के बजाय, सीखने की समस्या को आंतरिक रूप से स्थिर समाधान खोजने के लिए तैयार करना। क्विडिट क्वांटम गेट्स को लागू करने के लिए हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन का उपयोग करना समझदारी है, क्योंकि उच्च-आयामी प्रणालियों के लिए ये क्विबिट गेट्स में विघटित करने की तुलना में अधिक मूल और कुशल हैं, जिससे अंतर्निहित सर्किट गहराई और संभावित त्रुटि संचय कम हो जाता है।

तार्किक संरचना: इसका तर्क प्रभावशाली है: 1) क्विडिट क्षमता और शोर लाभ प्रदान करते हैं, लेकिन सटीक नियंत्रण की आवश्यकता होती है। 2) हाउसहोल्डर सिक्का शक्तिशाली है लेकिन पैरामीटर के प्रति संवेदनशील। 3) इसलिए, आइए मशीन लर्निंग का उपयोग करके विशाल पैरामीटर स्थान में उन क्षेत्रों की खोज करें जो आंतरिक रूप से सपाट (रोबस्ट) हैं, न कि केवल तीक्ष्ण (आदर्श परिस्थितियों में इष्टतम)। मोंटे कार्लो सिमुलेशन ("शोर लैंडस्केप" उत्पन्न करना) और सुपरवाइज्ड लर्निंग (इसकी टोपोलॉजी सीखना) के बीच का संबंध उचित और व्यावहारिक है।

लाभ और सीमाएँ: फायदे: इसकी सबसे बड़ी ताकत हाइब्रिड क्वांटम-क्लासिकल पद्धति है, जो शुद्ध क्वांटम विश्लेषण द्वारा हल न की जा सकने वाली समस्याओं को सुलझाने के लिए क्लासिकल कंप्यूटिंग शक्ति का उपयोग करती है। NISQ अनुप्रयोगों के लिए, यह बहुत व्यावहारिक है। केवल चरम प्रदर्शन के बजाय एल्गोरिदम की मजबूती पर ध्यान केंद्रित करना, John Preskill जैसे शोधकर्ताओं द्वारा रेखांकित वास्तविक बाधाओं के अनुरूप है।
कमियाँ: यह लेख "रोबस्टनेस की कीमत" को नज़रअंदाज़ कर सकता है। एक अधिक सपाट, चौड़ा प्रदर्शन शिखर आमतौर पर शिखर सफलता संभावना में कमी का संकेत देता है। यहाँ ट्रेड-ऑफ क्या है? क्या आदर्श प्रदर्शन में 10% की गिरावट के लिए 300% सहनशीलता वृद्धि स्वीकार्य है? इसके लिए स्पष्ट मात्रात्मक विश्लेषण आवश्यक है। इसके अलावा, मशीन लर्निंग मॉडल की स्वयं की जटिलता और प्रशिक्षण डेटा आवश्यकताएँ नए ओवरहेड बन जाती हैं। क्या प्रत्येक नए ग्राफ टोपोलॉजी या शोर मॉडल के लिए DNN को पुनः प्रशिक्षित करने की आवश्यकता है? इस पद्धति में अत्यधिक समस्या-विशिष्ट होने का जोखिम है।

क्रियान्वयन योग्य अंतर्दृष्टि: क्वांटम एल्गोरिदम डेवलपर्स के लिए, स्पष्ट निहितार्थ यह है: डिज़ाइन के प्रारंभ में ही रोबस्टनेस को प्राथमिक विचार के रूप में शामिल करें, न कि बाद में उपाय के तौर पर। आंतरिक रूप से स्थिर एल्गोरिदम वेरिएंट खोजने के लिए डिज़ाइन चक्र के प्रारंभिक चरण में ही सिमुलेशन और मशीन लर्निंग टूल्स का उपयोग करें। हार्डवेयर टीमों के लिए, यह कार्य सटीक, अच्छी तरह से चरित्रित qudit पैरामीटर नियंत्रण प्रदान करने की आवश्यकता पर बल देता है - मशीन लर्निंग केवल उस हिस्से को अनुकूलित कर सकती है जिसे हार्डवेयर विश्वसनीय रूप से समायोजित कर सकता है। अगला तार्किक कदम सिमुलेशन और प्रशिक्षण फ्रेमवर्क को ओपन-सोर्स करना होगा, जिससे समुदाय व्यापक एल्गोरिदम (VQE से QAOA तक) पर इस पद्धति का परीक्षण कर सके और इस प्रकार एक "रोबस्टिफाइड" क्वांटम सबरूटीन लाइब्रेरी बना सके। केवल अधिक क्वांटम बिट्स की खोज की तुलना में, यह व्यावहारिक क्वांटम लाभ को प्राप्त करने में तेजी लाने में अधिक सक्षम हो सकता है।